В детстве Александр мечтал стать военным, как его отец. Но после развода родителей и переезда из Сахалина в Ригу мать, вопреки его желанию, отдала сына в хореографическое училище. Там он познакомился с Михаилом Барышниковым, и оба вскоре стали лучшими танцовщиками из всех учеников. После окончания училища Александр Годунов работал в «Молодом балете» Игоря Моисеева, а оттуда вскоре перешел в Большой театр.
В 1970-х гг. Годунов исполнял сольные и дуэтные партии в полутора десятках спектаклей классического репертуара театра. Специалисты отмечали как его безупречную технику, так и выразительную эмоциональную насыщенность выступлений. В 1976 г. ему присвоили звание заслуженного артиста РСФСР. Он танцевал в дуэтах с Людмилой Власовой, которая стала его женой, и Майей Плисецкой. Последняя так о нем писала: «Он был могуч, горделив, высок. Сноп соломенных волос, делавший его похожим на скандинава, полыхал на ветру годуновского неповторимого пируэта. Он лучше танцевал, чем держал партнершу. Человек был верный, порядочный и вопреки своей мужественной внешности совершенно беззащитный».
Несмотря на свой громкий профессиональный успех, на протяжении нескольких лет танцовщик был невыездным, даже когда стал солистом Большого театра. Возможно, эти меры были приняты после того, как его друг Михаил Барышников в 1974 г. бежал из СССР, не вернувшись с гастролей в Торонто. Кроме того, у артиста нередко случались проблемы в театре из-за независимого и своенравного характера. Плисецкая вспоминала: «Его как-то хотели подстричь, сказали, что с такими патлами нельзя танцевать. И здесь он настоял на своем: «Нет, будут патлы!».
Он не должен был ехать на гастроли в США в 1979 г., но за несколько дней до их начала американский импресарио выдвинул ультиматум: либо труппа приезжает с Годуновым, либо гастроли отменяются. И его все-таки решили выпустить. Его исчезновение заметили не сразу. После выступления 19 августа у танцовщика было 3 выходных дня, и даже его жена не подозревала о том, куда он пропал – думала, что заночевал у знакомых. Вскоре стало известно, что он попросил политического убежища в США. Его жену сопроводили в аэропорт, но американцы не разрешили вылет самолета. Они были уверены в том, что Александр «выбрал свободу», а его жене не дали возможности сделать выбор и насильно отправляют в СССР. Переговоры длились три дня. Все это время Людмила вместе с остальными пассажирами оставалась на борту самолета. Но она подтвердила свое решение вернуться на родину – не хотела там бросать мать в одиночестве.
